東大の数学入試問題　　　　　　　2023/3/07

例年、主要大学の数学入試問題を見ているのだけれど、今年はやる気がしない。そうは言っても、頭の体操に、東大理系の数学入試問題を一部解いてみた。

問題５
　　整式 f(x)=(x-1)²(x-2) を考える。
　　(1)  g(x)を実数係数とする整式とし、g(x)をf(x)で割った余りをr(x)とおく。{g(x)}⁷をf(x)で割った余りと、{r(x)}⁷を f(x)で割った余りが等しいことを示せ。
　　(2)  a、bを実数とし、h(x)=x²+ax+bとおく。{h(x)}⁷をf(x)で割った余りをh₁(x)とおき、{h₁(x)}⁷をf(x)で割った余りをh₂(x)とおく。h₂(x)がh(x)と等しくなるようなa,bの組を全て求めよ。

解答と解説
　東大らしい問題だ。それほど難しくはないけれど、かといって易しくもない。手際よく進めないと時間内には正解にたどり着けないだろう。日頃の受験勉強がものをいう、そんな問題だ。
(1)  は自明なので割愛。
(2)  の解答
　この問題はh₁を評価して、次にh₂を評価してもよいが、(1)がヒントになっているのだと思えば、{h(y)}⁴⁹を評価した方が楽になるような気がするだろう。また、y=x-1と置き換えると、若干答案を書く量が減るが、本質的ではない。

＜（2）の解答＞
(1)  より、h⁴⁹を多項式fで割った余りがh₂である。

y=x-1とする。すなわち、f(y)=y²(y-1)
ここで、h(y)=y(y-1)+By+Cとする
{h(y)}⁴⁹=P(y)y²(y-1)+49C⁴⁸y(y-1)+(By+C)⁴⁹と書ける。ただしP(y)はyの多項式。
(By+C)⁴⁹=y²(y-1)Q(y)+μy(y-1)+βy+γ　とおく。ただしQ(y)はyの多項式。
y=0を代入して、γ＝C⁴⁹
y=1を代入して、β+γ＝(B+C)⁴⁹
(By+C)⁴⁹-γ=y²(y-1)Q(y)+μy(y-1)+βyの両辺をyで割って、y=0を代入すると次式を得る。
49BC⁴⁸=-μ+β
以上より、
h₂(y)=αy(y-1)+βy+γ
ただし、α=(B+C)⁴⁹-C⁴⁹-48BC⁴⁸+48C⁴⁸
β=(By+C)⁴⁹-C⁴⁹γ=C⁴⁹
α=1,　β=B,　γ=C となる条件を求める。　
γ=C⁴⁹ であるから、C=-1,0,1のいずれかである。

C=1で、q=Bとすると、
　(B+1)⁴⁹-1=Bが成り立つので、B=-2,-1,0のいずれかである。

C=0で、q=Bとすると、
　B⁴⁹=Bが成り立つので、B=1,-1,0のいずれかである。

C=-1で、q=Bとすると、
　(B-1)⁴⁹+1=Bが成り立つので、B=2,1,0のいずれかである。

以上、解の候補として、B,Cの組が９通り見つかった。この中で、α=1となるものが解である。
このとき、(B+C)⁴⁹=B+C  C⁴⁹=C に注意して、9通り試すと、
B=1,C=0およびB=1,C=-1　　が解であることがわかる。

すなわち、h(x)=x²-2x+1　　h(x)=x²-2x