(1)  cos3θ、cos4θをcosθの式で表せ。

(2)  pを3以上の素数とする。cosθ=1/pのとき、θ/πは無理数か。

 

方針：(1)が(2)のヒントになっていることは容易にわかるだろうけれど、私には、どうヒントなのかわからなかった。そこで、cos5θとsin3θ〜 sin5θまで書いてみたら、ようやく解答方針がわかってきた。 (1)のヒントだけで方針を立てろと言われたらつらい。

 

　cos2θ＝2cos²θ−１

　cos3θ＝4cos³θ−3cosθ

　cos4θ＝8cos⁴θ−8cos²θ＋１

　cos5θ＝16cos⁵θ−20cos³θ＋5cosθ

sin2θ＝2cosθsinθ

sin3θ＝(4cos²θ-1) sinθ

sin4θ＝(8cos³θ―4cosθ) sinθ

sin5θ＝(16cos⁴θ−12cos²θ＋1) sinθ

 

(2)の解答

最初に、n≧2のとき、cos(nθ)、sin(nθ)は以下のように書き表せることを数学的帰納法によって示す。

　cos(nθ)＝2^n-1cosⁿθ+f_n-2(cosθ)

　sin(nθ)＝{2^n-1cos^n-1θ+g_n-2(cosθ)} sinθ

　　　　ただし、f_n-2(x)、g_n-2(x) はn-2次以下の整式

（示し方は簡単なので割愛）

cosθ=1/p  θ=(m/n)π　　（pは3以上の素数、m、nは整数）とする。

このとき、cos(nθ)は明らかに整数であり、cos(nθ)＝2^n-1cosⁿθ+f_n-2(cosθ)であるから、

両辺にp^n-1を掛けると、f_n-2(cosθ)×p^n-1は整数であるから、2^n-1/p　は整数となる。

これは、pが3以上の素数であることに矛盾する。

すなわち、cosθ=1/pのとき、θ/πは無理数です。